MATEMATIKA
INFORMATIKA 3
BAB 3
LOGIKA PEMBUKTIAN
KELOMPOK 3
2IA14
Anggota :
ARJUNA
CESA A 51415029
DIANA
MASRITA 51415857
FAJRI
NOVIANDRI 52415448
FARADILLAH
JAUHARAH ZULKA 52415472
MOCHAMMAD FARREL WIRAPUTRA 57415485
MUHAMMAD
TAUFIQ FIRMANSYAH 54415807
NOVIAN ADIPUTRA 55415131
TEKNOLOGI INDUSTRI
TEKNIK INFORMATIKA
1. Hasil pangkat bilangan ganjil adalah ganjil.
Jawab :
A. Langsung
Hipotesis 1 = P à Q
ganjil² = ganjil
Hipotesis 2 = ganjil²
= (2r + 1)²
=
4r² + 4r + 1
= 2(2r² + 2r ) + 1
= 2k + 1
Maka, kesimpulannya pangkat
bilangan ganjil adalah ganjil.
B. Kontradiksi
Hipotesis 1 = P à Q
ganjil² = ganjil
Hipotesis 2 = ganjil² à genap
= ganjil²
= (2r + 1)²
= 4r² + 4r + 1
= 2(2r² + 2r ) + 1
= 2k + 1
Jadi, hipotesis 2 salah.
Maka, kesimpulannya pangkat
bilangan ganjil adalah ganjil.
C. Kontraposisi
Hipotesis 1 = P à Q
ganjil² = ganjil
Hipotesis 2 = ~Q à ~P
= genap
= genap²
= 2n = (2n)²
= 2n = 4n²
= 2n = 2(2n²)
= 2n = 2k
Kesimpulan : Q
Maka, kesimpulannya pangkat
bilangan ganjil adalah ganjil.
2. Hasil pangkat dari penjumlahan 2 bilangan ganjil adalah genap.
Jawab :
A. Langsung
Hipotesis 1 = P à Q
(a ganjil + b ganjil)² = genap
Hipotesis 2 = (a ganjil +
b ganjil)²
= (2r + 1 + 2s + 1)²
= (2r + 2s + 2)²
= 4r² + 4s² + 4rs + 4sr + 8r + 8s + 4
= 2(2r² + 2s² + 2rs + 2sr + 4r + 4s + 2)
= 2k
Maka, kesimpulannya pangkat
dari penjumlahan 2 bilangan ganjil adalah genap.
B. Kontradiksi
Hipotesis 1 = P à Q
(a ganjil + b ganjil)² = genap
Hipotesis 2 = (a ganjil +
b ganjil)² à ganjil
= (a ganjil + b ganjil)²
= (2r + 1 + 2s + 1)²
= (2r + 2s + 2)²
= 4r² + 4s² + 4rs + 4sr + 8r + 8s + 4
= 2(2r² + 2s² + 2rs + 2sr + 4r + 4s + 2)
= 2k
Jadi, hipotesis 2 salah.
Maka, kesimpulannya pangkat
dari penjumlahan 2 bilangan ganjil adalah genap.
C. Kontraposisi
Hipotesis 1 = P à Q
(a ganjil + b ganjil)² = genap
Hipotesis 2 = ~Q à ~P
= ganjil = (a genap + b genap)²
= 2n + 1= (2r + 2s)²
= 2n + 1= 4r² + 4s² + 4rs + 4sr
= 2n + 1= 2(2r² + 2s² + 2rs + 2sr)
= 2n + 1= 2k
Kesimpulan : Q
Maka, kesimpulannya pangkat dari penjumlahan 2 bilangan ganjil tidak
dapat dibuktikan dengan metode
kontraposisi.
3.Jika diketahui n adalah ganjil, maka n2 adalah
?
Jawab :
Diketahui n adalah ganjil, artinya
terdapat suatu bilangan bulat k sehingga
n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n2 ganjil.
n2 = (2k + 1)2
= 4k2 +
4k + 1
= 2(2k2 +
2k) +1.
Perhatikan bahwa n2 = 2(2k2 +
2k) +1.Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k2 + 2k) juga
pasti bilangan bulat, sehingga n2 adalah ganjil.
4.Sebutkan metode metode dalam pembuktian langsung dan tidak langsung?
Jawab:
A. Metode Kontraposisi.
B. Metode Kontradiksi.
C. Metode Langsung.
5.M dan M adalah bil. genap maka M+N = genap?
Jawab:
·
Langsung
Hipotesis
1
P
=> Q
Mgenap +
Ngenap = genap
Hipotesis 2
Mgenap +
Ngenap
= 2m + 2n
= 2(m +
n)
= 2k
Kesimpulan
Hasil
tambah bil. M dan N adalah genap
·
Kontradiksi
Hipotesis 1
P => Q
Mgenap +
Ngenap = genap
Hipotesis 2
~(P =>
Q)
Mgenap + Ngenap = ganjil
Kesimpulan
Hipotesis
kedua salah , jumlah bil. M genap + N genap adalah genap
·
Kontraposisi
Hipotesis 1
P => Q
Mgenap + Ngenap = genap
Hipotesis 2
~Q =>
~P
Mganjil +
Nganjil = ganjil
= 2n + 1 = 2m + 1 + 2m + 1
= 2n + 1 = 4m + 2
= 2(m
+ 1)
= 2X
6.X adalah bil. ganjil , maka X2 juga bil. ganjil
Jawab:
·
Langsung
Hipotesis 1
P => Q
(2a + 1) 2 = ganjil
Hipotesis 2
(2a + 1)
(2a + 1)
=4a2
+ 2a + 2a + 1
=4a2
+ 4a + 1
=2(2a2
+ 2a) +1
=2k + 1
·
Kontradiksi
Hipotesis 1
P => Q
(2a + 1)2 = ganjil
Hipotesis 2
~(P
=>Q)
(2a + 1)2
= genap
Kesimpulan
Hipotesis kedua
salah , X2 adalah ganjil
·
Kontraposisi
Hipotesis 1
P => Q
(2a + 1)2 = ganjil
Hipotesis 2
~Q =>~P
=genap = (2a –
1) (2a – 1)
= 2n = 4a2
– 2a – 2a + 1
= 2n = 4a2
– 4a + 1
= 2n = 2(2a2
– 2a) + 1
= 2n = 2k + 1
Kesimpulan
X2
adalah bil. Ganjil
7. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)
Untuk bilangan asli.
Jawab:
→Basis Induksi
n = 1 → 1(1+1) = 2
→ Langkah Induksi
- n = k → k = k(k+1)
- k = k + 1 → k + 1 = k+1(k+1+1)
=
k+1(k+2)
=
k²+2k+ k +2
=
k²+3k+2
→ 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k + 2(k+1)
= k(k+1)+2(k+1)
= k²+k+2k+2
= k²+3k+2 à Terbukti
Benar.
8. 1 + 2 + 3 + ... + n= ½ n(n+1)
Untuk bilangan asli.
Jawab:
→ Basis Induksi
n = 1 → ½.1(1+1) = 1
→ Langkah Induksi
- n = k → k = ½ k(k+1)
- k = k + 1 → k + 1 = ½ k+1(k+1+1)
=
½ k+1(k+2)
=
½ (k²+2k+k+2)
=
½ k²+3/2 k+1
=
k²+3k+2
→ 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)
= ½ k(k+1)+k+1
= ½ (k²+k)+k+1
= ½ k²+½ k+k+1
= ½ k²+3/2 k+1
= k²+3k+2 à Terbukti
Benar.
9.Hasil kali 2
bilangan ganjil adalah ganjil
Jawab:
Langsung
Ø Hipotesis 1 = p → q
a ganjil x b
ganjil = ganjil
Ø Hipotesis 2 = a ganjil x b ganjil
= 2n + 1 x
2n + 1
= (2r + 1) x
(2s + 1)
= 4rs + 2r + 2s + 1
= 2(2rs + r + s) + 1
= 2 k + 1
Maka
kesimpulan hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil
Kontradiksi
Ø Hipotesis 1 = p →
q
a x b ganjil = ganjil
Ø Hipotesis 2 = a ganjil x
b ganjil = genap
Jadi hipotesis 2
salah
Maka
kesimpulan hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil
Kontraposisi
Ø Hipotesis1 = p →
q
a ganjil x b ganjil = ganjil
Ø Hipotesis2 = ~q → ~p
Genap = a genap x b genap
2n =
2n x 2n
2n =
4n²
2n = 2(2n²)
2n = 2k
Kesimpulan = q
Maka hasil
kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil
10.Untuk
bilangan bulat,buktikan jumlah 2 bilangan genap adalah genap
Jawab:
ü Genap = 0,2,4,6,8,...
1.2,2.2,3.2,4.2...2n
2n
ü Ganjil = 1,3,5,7,9
= 2.1+1,2.2+1,2.3+1,...
= 2n+1
Jawab:
Langsung
Ø Hipotesis1 = p → q
a genap + b genap =
genap
Ø Hipotesis2 = a genap
+ b genap
= 2r +
2s
= 2 (r +s)
↓
k
= 2k
Maka
kesimpulan jumlah 2 bilangan genap adalah genap
= 2r + 2r
= 4r
= 2(2r)
= 2k
Kontradiksi
Ø Hipotesis1 = p → q
a + b genap =
genap
Ø Hipotesis2 = a genap + b genap =
ganjil
Jadi hipotesis 2
salah
Kesimpulan =
jumlah 2 bilangan genap = genap
Kontraposisi
Ø Hipotesis1 = p →
q
a + b genap =
genap
Ø Hipotesis2 = ~q → ~p
Ganjil = a ganjil + b ganjil
2n+1 = 2r+1 +
2r+1
2n+1 = 2r +
2r + 1 + 1
2n+1 =
4r +
2
= 2(2r+1)
=2k
=2r+1+2s+1
=2r+2s+2
=2(r+s+1)
=2k
