Cari Blog Ini

Jumat, 18 November 2016

SOAL LOGIKA PEMBUKTIAN (MATEMATIKA INFORMATIKA)

MATEMATIKA INFORMATIKA 3

BAB 3

LOGIKA PEMBUKTIAN


KELOMPOK 3
2IA14
Anggota  :

                        ARJUNA CESA A                                      51415029
                        DIANA MASRITA                                        51415857
                        FAJRI NOVIANDRI                                    52415448
                        FARADILLAH JAUHARAH ZULKA         52415472
                        MOCHAMMAD FARREL WIRAPUTRA  57415485
                        MUHAMMAD TAUFIQ FIRMANSYAH     54415807
                        NOVIAN ADIPUTRA                                   55415131






TEKNOLOGI INDUSTRI
TEKNIK INFORMATIKA
UNIVERSITAS GUNADARMA


1. Hasil pangkat bilangan ganjil adalah ganjil.
    Jawab :
    A. Langsung
          Hipotesis 1 = P         à Q
                            ganjil² = ganjil
          Hipotesis 2 = ganjil²
                         = (2r + 1)²
                         = 4r² + 4r + 1
                         = 2(2r² + 2r ) + 1
                         = 2k + 1
      Maka, kesimpulannya pangkat bilangan ganjil adalah ganjil.
    B. Kontradiksi
          Hipotesis 1 = P           à Q
                            ganjil²   = ganjil
          Hipotesis 2 = ganjil²  à  genap
                         = ganjil²
                         = (2r + 1)²
                         = 4r² + 4r + 1
                         = 2(2r² + 2r ) + 1
                         = 2k + 1
          Jadi, hipotesis 2 salah.
      Maka, kesimpulannya pangkat bilangan ganjil adalah ganjil.
    C. Kontraposisi
          Hipotesis 1 = P          à Q
                            ganjil²  = ganjil
          Hipotesis 2 = ~Q       à ~P
                         = genap  = genap²
                         = 2n             = (2n)²
                         = 2n        = 4n²
                         = 2n        = 2(2n²)
                         = 2n             = 2k
          Kesimpulan : Q
      Maka, kesimpulannya pangkat bilangan ganjil adalah ganjil.

2. Hasil pangkat dari penjumlahan 2 bilangan ganjil adalah genap.
    Jawab :
    A. Langsung
          Hipotesis 1 =         P                           à Q
                            (a ganjil + b ganjil)² = genap
          Hipotesis 2 = (a ganjil + b ganjil)²
                         = (2r + 1 + 2s + 1)²
                         = (2r + 2s + 2)²
                         = 4r² + 4s² + 4rs + 4sr + 8r + 8s + 4
                         = 2(2r² + 2s² + 2rs + 2sr + 4r + 4s + 2)
                         = 2k
      Maka, kesimpulannya pangkat dari penjumlahan 2 bilangan ganjil adalah genap.
    B. Kontradiksi
          Hipotesis 1 =         P                            à Q
                            (a ganjil + b ganjil)²  = genap
          Hipotesis 2 = (a ganjil + b ganjil)² à ganjil
                         = (a ganjil + b ganjil)²
                         = (2r + 1 + 2s + 1)²
                         = (2r + 2s + 2)²
                         = 4r² + 4s² + 4rs + 4sr + 8r + 8s + 4
                         = 2(2r² + 2s² + 2rs + 2sr + 4r + 4s + 2)
                         = 2k
          Jadi, hipotesis 2 salah.
      Maka, kesimpulannya pangkat dari penjumlahan 2 bilangan ganjil adalah genap.
    C. Kontraposisi
          Hipotesis 1 =         P                           à Q
                            (a ganjil + b ganjil)² = genap
          Hipotesis 2 = ~Q       à ~P
                         = ganjil = (a genap + b genap)²
                         = 2n + 1= (2r + 2s)²
                         = 2n + 1= 4r² + 4s² + 4rs + 4sr
                         = 2n + 1= 2(2r² + 2s² + 2rs + 2sr)
                         = 2n + 1= 2k
          Kesimpulan : Q
Maka, kesimpulannya pangkat dari penjumlahan 2 bilangan ganjil tidak dapat dibuktikan dengan    metode kontraposisi.

3.Jika diketahui n adalah ganjil, maka n2  adalah ?

Jawab :

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga 
n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n2 ganjil.
n2 = (2k + 1)2
     = 4k2 + 4k + 1
     = 2(2k2 + 2k) +1.
Perhatikan bahwa n2 = 2(2k2 + 2k) +1.Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n2 adalah ganjil.


4.Sebutkan metode metode dalam pembuktian langsung dan tidak langsung?

Jawab:

A. Metode Kontraposisi.
B. Metode Kontradiksi.
C. Metode Langsung.



5.M dan M adalah bil. genap maka M+N = genap?

Jawab:

·         Langsung
Hipotesis 1
P => Q
Mgenap + Ngenap = genap
          Hipotesis 2
Mgenap + Ngenap
= 2m + 2n
= 2(m + n)
= 2k
          Kesimpulan
                   Hasil tambah bil. M dan N adalah genap
·         Kontradiksi
          Hipotesis 1
P => Q
Mgenap + Ngenap = genap
          Hipotesis 2
                   ~(P => Q)
                   Mgenap  + Ngenap = ganjil
          Kesimpulan
                   Hipotesis kedua salah , jumlah bil. M genap + N genap adalah genap
·         Kontraposisi
Hipotesis 1
P => Q
Mgenap + Ngenap = genap

          Hipotesis 2
                   ~Q => ~P
                   Mganjil + Nganjil = ganjil
                   = 2n + 1  = 2m + 1 + 2m + 1
                   = 2n + 1 =  4m + 2
                             = 2(m + 1)
                             = 2X

6.X adalah bil. ganjil , maka X2 juga bil. ganjil

Jawab:
·         Langsung
Hipotesis 1
                   P => Q
                   (2a + 1) 2  = ganjil
          Hipotesis 2
                   (2a + 1) (2a + 1)
                   =4a2 + 2a + 2a + 1
                   =4a2 + 4a + 1
                   =2(2a2 + 2a) +1
                   =2k + 1
·         Kontradiksi
Hipotesis 1
P => Q
(2a + 1)2  = ganjil
          Hipotesis 2
                   ~(P =>Q)
                   (2a + 1)2 = genap
          Kesimpulan
                   Hipotesis kedua salah , X2 adalah ganjil
·         Kontraposisi
Hipotesis 1
P => Q
(2a + 1)2  = ganjil
          Hipotesis 2
                   ~Q =>~P
                   =genap = (2a – 1) (2a – 1)
                   = 2n = 4a2 – 2a – 2a + 1
                   = 2n = 4a2 – 4a + 1
                   = 2n = 2(2a2 – 2a) + 1
                   = 2n = 2k + 1
          Kesimpulan
                   X2 adalah bil. Ganjil

7. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)
  Untuk bilangan asli.
Jawab:

  Basis Induksi
     n = 1 1(1+1) = 2

   Langkah Induksi
     - n = k        k = k(k+1)
     - k = k + 1 k + 1 = k+1(k+1+1)
                                     = k+1(k+2)
                                     = k²+2k+ k +2
                                     = k²+3k+2

   2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k + 2(k+1)
     = k(k+1)+2(k+1)
     = k²+k+2k+2
     = k²+3k+2 à Terbukti Benar.

8. 1 + 2 + 3 + ... + n= ½ n(n+1)
  Untuk bilangan asli.
Jawab:

   Basis Induksi
     n = 1 ½.1(1+1) = 1

   Langkah Induksi
     - n = k k = ½ k(k+1)
     - k = k + 1 k + 1 = ½ k+1(k+1+1)
                                     = ½ k+1(k+2)
                                     = ½ (k²+2k+k+2)
                                     = ½ k²+3/2 k+1     
                                     = k²+3k+2                           
   1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)
     = ½ k(k+1)+k+1
     = ½ (k²+k)+k+1
     = ½ k²+½ k+k+1
     = ½ k²+3/2 k+1                                 
     = k²+3k+2 à Terbukti Benar.

9.Hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil
Jawab:

               Langsung

Ø  Hipotesis 1  =  p q
                             a ganjil    x   b ganjil       = ganjil

Ø  Hipotesis 2  =  a ganjil   x   b ganjil
                           = 2n + 1    x   2n + 1
                           = (2r + 1)   x   (2s + 1)
                           = 4rs + 2r + 2s + 1
                           = 2(2rs + r + s) + 1
                           = 2 k + 1
Maka kesimpulan hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil

Kontradiksi

Ø   Hipotesis 1 =  p    q
                               a  x  b ganjil  = ganjil
Ø  Hipotesis 2  =  a  ganjil x  b ganjil   = genap
                              Jadi hipotesis 2 salah
Maka kesimpulan hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil


Kontraposisi

Ø  Hipotesis1   = p q
                                a ganjil  x  b ganjil     = ganjil

Ø   Hipotesis2  =  ~q  ~p
                              Genap  =   a genap   x   b genap
                                2n       =  2n  x  2n
                                2n       =  4n²
                                2n       = 2(2n²)
                                2n       = 2k
Kesimpulan   =  q
Maka hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil


10.Untuk bilangan bulat,buktikan jumlah 2 bilangan genap adalah genap
Jawab:

ü  Genap  = 0,2,4,6,8,...
                 1.2,2.2,3.2,4.2...2n
                 2n
ü  Ganjil  = 1,3,5,7,9
            = 2.1+1,2.2+1,2.3+1,...
            = 2n+1

Jawab:

Langsung

Ø  Hipotesis1   =  p  q
                             a genap  +  b genap  =  genap

Ø  Hipotesis2   = a genap  +  b genap
                             = 2r    +   2s
                             = 2 (r +s)
                                     
                                       k
                             = 2k
Maka kesimpulan jumlah 2 bilangan genap adalah genap
                            = 2r  +  2r
                            = 4r
                            = 2(2r)
                            = 2k



Kontradiksi

Ø   Hipotesis1  =  p  q
                                 a  +  b genap  =  genap
Ø  Hipotesis2   =   a genap  +  b genap  =  ganjil
                             Jadi hipotesis 2 salah

Kesimpulan = jumlah 2 bilangan genap = genap
  

Kontraposisi

Ø  Hipotesis1   = p     q
                               a  +  b genap  =  genap

Ø  Hipotesis2   = ~q ~p
                           Ganjil  =  a ganjil  +  b ganjil
2n+1 = 2r+1 + 2r+1
2n+1 = 2r + 2r + 1 + 1
2n+1 = 4r  +  2
          = 2(2r+1)
          =2k

 =2r+1+2s+1
=2r+2s+2
=2(r+s+1)
=2k




Tidak ada komentar:

Posting Komentar